word文档数列极限部分较难习题

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数列极限部分较难习题解答1数列极限部分书后较难的作业解答:一.((书293P)第10题)证明数列1111223nxnn有极限证明:(一)因为11122(1)111nnxxnnnnnn120111nnn故nx单减.(二)由不等式1111,12nnnnnnn得121nnn1,2,n所以有221232243212nxnnn212022nn.故nx有下界.因此根据单调有界原理知,nx有极限.二.设常数0a,nnxaaa个,证明:nx收敛,且求limnnx.解:(一)假设nx收敛,并记lim.nnxA由已知得递推关系式:1nnxax,令n,利用1limlimnnnnxxA,得AaA,即20,AAa解方程得1142aA.又因为0nx,故取1142aA.高一数学期末测试题,网校就上学而思广告「学而思网校」"直播+辅导"双师教学,学习更有效,限前100名领取哈佛北大毕业老师查看详情>数列极限部分较难习题解答2即114lim.2nnax(二)下面返证nx收敛.1.由12,,,xaxaa显然21xx0a.归纳地设1nnxx,则11,nnnnxaxaxx即nx单增.2.再证nx有上界.B那么如何取B呢?既然nx单增且有极限1142aA,那么1142aA就应是nx的一个上界.下面仍然用归纳法证明1142aA是nx的上界.事实上显然11142axa;设114,2nax则11114211422nnaaaxaxa422144aa2114114.42aa故nx单增且有上界,因此nx收敛.注意:这里nx上界的找法似乎依赖于nx的极限值.为了使上述解法更符合逻辑,一般教科书往往先证(2),再求(1)的方法,不过(2)中的上界的选取实际上是事先计算出的极限.当然若nx为单减的,则事先计算出的极限值就是数列的一个下界了.注意:同理可将上例推广到一般情形:设10,xa1,0,2,3,,nnxbxbn则数列nx收敛且114lim.2nnbx其中(1)当12,xx即aba或1142ba时,114.2nbx高中数学复习题,挑战不失分,重点大学不是梦!广告「高途课堂」高中数学复习题,独特教学方法,快速提升高中成绩,查看详情>数列极限部分较难习题解答3(2)当12,xx即aba或1142ba时,nx单增,且114.2b为上界;(3)当12,xx即aba或1142ba时,nx单减,且以0或114.2b为下界;有趣的是数列1nnxbx的极限与其初值10xa并无关系.这说明在一个收敛的迭代数列中,不管数列的初值1x如何选取,数列总收敛到相同的极限值,这也正是迭代算法的存在价值.三.(295P第13题(3))设0ba,数列,nnxy由下式所确定:1111,,,2nnnnnnxyxaybxxyy证明它们有公共的极限.证明:(一)由0ba可知,0,0.1,2,nnxyn因而111,2,2nnnnnnxyyxyxn显然对于,n112nnnnnnxyyxyx,又因为110yx,故对于,n.nnyx所以1.nnnnnnxxyxxx(1)因此,nx单调递增.同理:因为122nnnnnnxyyyyy,(2)因此ny单调递减.(二)由于11,nnaxxyyb因此nx有上界b,且ny有下界a,根据单调有界原理知,数列,nnxy均有极限.(三).设lim,lim.nnnnxcyd对12nnnxyy两边取极限,得,2cdd于是,,cd即limlim.nnnnxy高中数学题库大全,名师直播课,高中数学大题不再难广告「高途课堂」高中数学题库大全,名师有高招,快速提升高中数学成绩,查看详情>数列极限部分较难习题解答4四.294P第12题设0xa和1xb已知实数,令111,2,2nnnxxxn(1)证明数列nx收敛且2lim.3nnabx证明:由(1)式,010121110112222xxxxxxxxxba;(2)212123222111;2222xxxxxxxxxba(3)323234333211;2222xxxxxxxxxba(4)111.2nnnxxban上述2—n相加,得:231111112222nnxxba111112211113212nnbaba故1111111113232nnnxxbabba12lim.33nnabxbba五.(294P第13题(1))设11310,1,2,3nnnxxcxnx,证明数列nx收敛,且lim3.nnx证明:(一)显然1313103,1,2,333nnnnnxxxnxx(二)由对于任何的2n,高中数学题库大全,名师直播课,高中数学大题不再难广告「高途课堂」高中数学题库大全,名师有高招,快速提升高中数学成绩,查看详情>数列极限部分较难习题解答511111313163333nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx(1)(1)式说明1nnxx与1nnxx同号.如果1nnxx与1nnxx均大于0,则说明nx是单调增加的,且有上界3;如果1nnxx与1nnxx均小于0,则说明nx是单调减少的,且有下界0.总之,根据单调有界原理知,nx收敛.(三)设limnnxa,在1313nnnxxx两边取极限,得313aaa,解之,有lim3.nnax六.(294P第13题(2))设实数2110,,1,2,222nnxcccxxn,讨论数列nx敛、散性.证明:(一)假设nx收敛,并设limnnxa,则由2122nnxcx两边取极限,得222caa,即220aac,解得11.ac因此,当1c时,nx发散;(二)当01c时,我们证明nx是收敛的.事实上,(1)显然01,2,nxn,且11;2cx下面利用归纳法证明对于任何的2n,有.nxc事实上,若假设1,kx则有2111.222kkxcx故对于任何的2n,有1.nx总之,对于任何的1n,有01.nx

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日期:2020-11-20
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