pdf文档《高等数学》教案 第一章 函数

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1第一章函数函数是积分的主要研究对象,后边关于微积分性质的研究都是对函数性质的研究。本章首先引入集合,然后研究两个实数集合之间的一种对应关系——函数关系,并介绍函数的基本性质和常见的初等函数。§1.1集合一、概念集合是具有某种属性的事物的全体,或者说是一些确定对象的汇总。构成集合的事物或对象,称为集合的元素。举例:有限集合:由有限个元素构成的集合。无限集合:由无限个元素构成的集合。集合通常用大写字母A、B、C、X、Y等表示。元素由小写字母a、b、c、x、y等表示。如果a是集合A的元素,记作a∈A;否则记作a∉A。二、表示方法1、列举法:按任意顺序列出集合的所有元素,并用花括号“{}”括起来。如:A={a,b,c,d}即列出集合中所有元素,不计较顺序,但不能遗漏和重复。2、描述法:设P(a)为某个与a有关的条件或法则,A为满足P(a)的一切a构成的集合,记为A={a∣P(a)}。如:A={x∣x2-5x+6=0}即把集合中元素所具有的某个共同属性描述出来,用{a∣a具有的共同属性}。3、文氏图:可以表示集合以及集合间的关系。三、全集与空集由所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为U。全集是相对的。不包含任何元素的集合称为空集,记为Φ。四、子集1、定义:如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,即“如果a∈A,则2a∈B”,则称A为B的子集。记为A⊆B或B⊇A。如果A⊆B成立,且B中确有元素不属于A,则称A为B的真子集。记作A⊂B或B⊃A。2、定义:设有集合A和B,如果A⊆B且B⊆A,则称A与B相等。结论:(1)A⊆A,即“集合A是其自己的子集”;(2)Φ⊆A,即“空集是任意集合的子集”;(3)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C,即“集合的包含关系具有传递性”。五、集合的运算1、定义:设有集合A和B,由A和B的所有元素构成的集合,称为A和B的并,记为A∪B。即A∪B={x∣x∈A或x∈B}。性质:(1)A⊂A∪B,B⊂A∪B;(2)A∪Φ=A,A∪U=U,A∪A=A。2、定义:设有集合A和B,由A和B的所有公共元素构成的集合,称为A与B的交,记为A∩B。即A∩B={x∣x∈A且x∈B}。性质:(1)A∩B⊂A,A∩B⊂B;(2)A∩Φ=Φ,A∩U=A,A∩A=A。3、定义:设有集合A和B,属于A而不属于B的所有元素构成的集合,称为A与B的差,记为A-B。即A-B={x∣x∈A且x∉B}。4、定义:全集中所有不属于A的元素构成的集合,称为A的补集,记为A。即A={x∣x∈U且x∉A}。性质:A∪A=U,A∩A=Φ。习题7、8:3六、集合运算律(1)交换律:(Ⅰ)A∪B=B∪A(Ⅱ)A∩B=B∩A(2)结合律:(Ⅰ)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(Ⅱ)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(3)分配率:(Ⅰ)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)(Ⅱ)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(4)摩根律:(Ⅰ)BABA∩∪=(Ⅱ)BABA∪∩=求不等式所构成集合的并、交运算,最好借助于数轴表示,显得一目了然;进行并、交的混合运算应注意并、交无先后,但括号优先,先里后外;抽象集合的并、交运算特点是:并集取全部,交集取公共。习题11:七、集合的笛卡尔乘积将两元素x和y按前后顺序排列成一个元素组(x,y),称为有序元素组。(x,y)与(y,x)是两个不同的有序元素组。有二元、三元、……n元有序元素组。定义:设有集合A和B,对任意的x∈A,y∈B,所有二元有序元素组(x,y)构成的集合,称为A与B的笛卡尔乘积,记为A×B。集合的笛卡尔乘积与集合的次序有关,一般地,A×B和B×A是不同的两个集合。习题15:4习题1--15§1.2实数集一、实数与数轴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧虚数无理数分数负整数正整数整数有理数实数复数0有理数:整数、有限小数或无限循环小数。无理数:无限不循环小数。具有原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。二、绝对值定义:一个实数x的绝对值,记为x,定义为:⎪⎩⎪⎨⎧−=,,xxx00<≥xx性质:(1)2xx=(2)0≥x(3)xx=−(4)xxx≤≤−(5)若a﹥0,则{x∣ax<}={x∣﹣a<x<a}(6)若b﹥0,则{x∣bx>}={x∣x<﹣b或x>b}={x∣x<﹣b}∪{x∣x>b}5(7)yxyx+≤+(8)yxyx−≥−(9)yxxy⋅=(10)yxyx=三、区间设a、b为实数,且a<b,1、满足不等式a<x<b的所有实数x的集合,称为以a、b为端点的开区间,记作(a,b),即(a,b)={x∣a<x<b}。2、满足不等式a≤x≤b的所有实数x的集合,称为以a、b为端点的闭区间,记作[a,b],即[a,b]={x∣a≤x≤b}。3、满足不等式a<x≤b(或a≤x<b)的所有实数x的集合,称为以a、b为端点的半开区间,记作(a,b](或[a,b)),即(a,b]={x∣a<x≤b},[a,b)={x∣a≤x<b}。以上为有限区间,以下为无限区间。4、(a,﹢∞)={x∣x﹥a},[a,﹢∞)={x∣x≥a}5、(﹣∞,b)={x∣x﹤b},(﹣∞,b]={x∣x≤b}6、(﹣∞,﹢∞)={x∣﹣∞<x<﹢∞}求解含绝对值的不等式关键是要正确的去掉绝对值符号。四、邻域实数集合{x∣δ<−0xx,δ﹥0}在数轴上是以点x0为中心,长度为2δ的开区间(x0﹣δ,x0﹢δ),称为点x0的δ邻域。x0为邻域的中心,δ为邻域的半径。微积分中常常用到集合{x∣δ<−<00xx,δ﹥0},这是在点x0的δ邻域内去掉点x0后其余的点所组成的集合,即集合(x0﹣δ,x0)∪(x0,x0﹢δ),称为以点x0为中心、以δ为半径的空心邻域(或去心邻域)。习题18(3)用区间表示实数集合:

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日期:2021-04-30
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